El volumen de un sólido de revolución

El volumen de un sólido obtenido al girar una curva alrededor de un eje también se halla con una integral definida¹. Giramos alrededor del eje $x$ la parte de $y = \sqrt{x}$ con $0 \leq x \leq 4$ .

Sumar discos delgados

Al cortar perpendicularmente al eje en $x$ se obtiene una sección circular de radio $f(x)$ y área $\pi f(x)^2$ . Sumándolas con espesor $dx$ resulta el volumen.

V = \pi \int_a^b f(x)^2\,dx

Sumar áreas de secciones está un nivel por encima de sumar segmentos verticales, que es lo que daba un área.

El cálculo

Para $f(x) = \sqrt{x}$ se tiene $f(x)^2 = x$ , así que el cálculo es fácil.

V = \pi \int_0^4 x\,dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^4 = 8\pi \approx 25.13

La raíz cuadrada desaparece al elevar al cuadrado, así que el volumen de una parábola girada sale de integrar una función lineal.

Comparado con un cilindro

Sólido	Volumen
El sólido de revolución	$8\pi$
El cilindro que lo envuelve, de radio $2$ y altura $4$	$16\pi$
Razón	$\dfrac{1}{2}$

Como $f(x)^2 = x$ es lineal, el área de la sección crece desde $0$ a ritmo constante, y eso es lo que refleja la razón.

Cambiar el eje

Para girar alrededor del eje $y$ , despéjese primero $x$ y úsese la misma fórmula. Girar $x = y^2$ en $0 \leq y \leq 2$ da lo siguiente.

V = \pi \int_0^2 y^4\,dy = \frac{32\pi}{5}

Al cambiar el eje cambia el volumen.

Cuando hay un hueco

Al girar la región entre dos curvas $f$ y $g$ con $f \geq g$ , se resta la interior de la exterior.

V = \pi \int \left( f^2 - g^2 \right) dx

Tiene la misma forma que restar la función de abajo de la de arriba para un área. El cálculo de una antena parabólica o de la capacidad de un recipiente se escribe así.

Las dos curvas de la gráfica son $y = \pm\sqrt{x}$ , el contorno antes de girar. Los puntos grandes son los bordes del extremo del sólido.

Solid of revolution, Wikipedia