Gráfica de la función raíz cuadrada $y = \sqrt{x}$

$y = \sqrt{x}$ es el número no negativo cuyo cuadrado es $x$¹. También se escribe $x^{1/2}$ y, como lleva un radical, se la llama función irracional. Su gráfica parece la parábola $y = x^2$ tumbada de lado.

Dominio y rango

• El dominio es $x \geq 0$
• El rango es $y \geq 0$
• La función crece de forma monótona
• La gráfica queda entera en el primer cuadrante

Elevar al cuadrado un número real nunca da un resultado negativo, así que $\sqrt{x}$ es real solo cuando $x \geq 0$. Para $x$ negativo no hay valor real, y no hay nada que dibujar.

Monotonía y forma

Para $x > 0$ la derivada es $y' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, que es siempre positiva, así que la función crece. La pendiente disminuye, sin embargo, a medida que $x$ aumenta, de modo que la subida se hace cada vez más suave.

La segunda derivada $y'' = -\dfrac{1}{4x\sqrt{x}}$ es negativa, así que la curva es cóncava hacia abajo en todo su recorrido. No está acotada superiormente: sigue subiendo, despacio, sin fin.

La tangente en el origen

Cuando $x \to 0^{+}$ la derivada tiende a $+\infty$, así que en el origen la recta tangente es vertical y coincide con el eje $y$. La curva salta fuera del origen y enseguida empieza a aplanarse. El origen es el extremo del dominio, y la función no es derivable ahí.

Puntos destacados

Como $\sqrt{4x} = 2\sqrt{x}$, multiplicar $x$ por $4$ solo duplica $y$; multiplicar $x$ por $100$ multiplica $y$ únicamente por $10$.

Relación con otras funciones

Es la inversa de $y = x^2$ restringida a $x \geq 0$, y las dos gráficas son reflejos una de la otra respecto de la recta $y = x$. Como función potencia $x^p$ con $p = \dfrac{1}{2}$, cumple $0 < p < 1$, así que sube bruscamente cerca del origen y con suavidad lejos de él.

Aplicaciones

• Un cuadrado de área $S$ tiene lado $\sqrt{S}$
• La caída libre desde una altura $h$ tarda un tiempo $t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$
• La distancia entre dos puntos, $\sqrt{x^2 + y^2}$
• La desviación típica, la raíz cuadrada de la varianza

El error de una media muestral disminuye como $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ con el número de observaciones: reducir el error a la mitad cuesta cuatro veces más datos, que es exactamente lo que dice el aplanamiento de esta curva.

1. Square root, Wikipedia