La longitud de una curva

La longitud de una curva también se halla con una integral definida¹. Calculamos la longitud de $y = \dfrac{2}{3}x^{3/2}$ en $0 \leq x \leq 3$ .

Parte del teorema de Pitágoras

Sustituyendo la curva por una poligonal fina, un segmento tiene longitud $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ . Sacando factor común $\Delta x$ se convierte en $\sqrt{1 + \left( \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \right)^2}\,\Delta x$ , y sumando y tomando el límite resulta la fórmula.

L = \int_a^b \sqrt{1 + f'(x)^2}\,dx

La fórmula de la longitud es la fórmula de la distancia entre dos puntos, troceada fina y sumada.

El cálculo

Para esta función $f'(x) = x^{1/2}$ , así que $1 + f'(x)^2 = 1 + x$ y el interior de la raíz queda limpio.

L = \int_0^3 \sqrt{1 + x}\,dx = \left[ \frac{2}{3}(1 + x)^{3/2} \right]_0^3 = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3}

Magnitud	Valor
Longitud de la curva	$\dfrac{14}{3} \approx 4.667$
El segmento que une los extremos	$\sqrt{21} \approx 4.583$

La curva es algo más larga que el segmento, lo que confirma también que el camino más corto entre dos puntos es la recta.

Comprobarlo con una recta

Para $y = x$ se tiene $f' = 1$ , así que $L = \int_0^a \sqrt{2}\,dx = \sqrt{2}\,a$ , que coincide con la distancia del origen a $(a, a)$ . La fórmula devuelve correctamente la respuesta evidente.

Cuando el cálculo se pone difícil

Curva	Integral de la longitud	Resultado
$y = \dfrac{2}{3}x^{3/2}$	$\int\sqrt{1+x}\,dx$	elemental
$y = x^2$	$\int\sqrt{1+4x^2}\,dx$	aparece un logaritmo
Una elipse		no expresable con funciones elementales²

Cuando el interior de la raíz no es un cuadrado, el cálculo se vuelve difícil. Una integral de longitud es un adversario mucho más duro que una de área.

La longitud de una circunferencia

Para $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ se tiene $f' = -\dfrac{x}{\sqrt{r^2 - x^2}}$ y $\sqrt{1 + f'^2} = \dfrac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}$ . Integrar eso de $-r$ a $r$ da $\pi r$ , la longitud correcta de una semicircunferencia.

La curva que sube hacia la derecha es $y = \dfrac{2}{3}x^{3/2}$ , la curva que queda por encima es el integrando $y = \sqrt{1 + x}$ , y los puntos grandes son los dos extremos.

Arc length, Wikipedia
Elliptic integral, Wikipedia