Gráfica de la función techo $y = \lceil x \rceil$

$y = \lceil x \rceil$ se llama función techo, y devuelve el menor entero que es al menos $x$¹. El símbolo $\lceil\ \rceil$ sugiere un techo, y la función es la contrapartida de la función suelo $\lfloor x \rfloor$.

Un entero se devuelve sin cambios, y cualquier otra cosa se redondea al entero siguiente. Para los números negativos el redondeo va hacia $0$, es decir, hacia la derecha en la recta numérica.

Dominio y rango

El dominio es el conjunto de todos los números reales y el rango es el conjunto de los números enteros. La gráfica es una escalera de segmentos horizontales a alturas enteras.

Cada peldaño tiene anchura $1$ e incluye su extremo derecho, el punto entero, mientras que excluye el izquierdo. Cuál de los extremos se incluye es exactamente lo contrario que en la función suelo.

Discontinuidades y saltos

La función es discontinua en todos los enteros. En un entero $n$ el límite por la izquierda es $n$ y el valor también es $n$, así que es continua por la izquierda; pero en cuanto $x$ pasa de $n$ el valor da un salto hasta $n+1$. El salto es siempre de tamaño $1$.

La función techo es continua por la izquierda, a diferencia de la función suelo, que lo es por la derecha.

Relación con la función suelo

Las dos están relacionadas por un cambio de signo.

Además, $\lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor + 1$ cuando $x$ no es entero, y las dos coinciden cuando lo es. Dada la función suelo, la función techo se sigue de inmediato.

Aplicaciones

El número de cajas necesarias para empaquetar $n$ objetos de $k$ en $k$ se halla redondeando hacia arriba.

Empaquetar $17$ objetos de cinco en cinco, por ejemplo, exige $4$ cajas.

• El número de cajas o de autobuses necesarios
• El número de páginas que hacen falta
• El número de bloques de memoria que hay que reservar

Redondear hacia arriba es siempre lo correcto en situaciones así, para que no se pase por alto la última unidad, llena solo en parte.

1. Floor and ceiling functions, Wikipedia