y=x1+x2y = \dfrac{x}{1+x^2}

La función racional y=x1+x2y = \dfrac{x}{1+x^2}

y=x1+x2y = \dfrac{x}{1+x^2} es una función racional con numerador xx y denominador 1+x21+x^2. Puede verse como la bruja de Agnesi multiplicada por xx, y su rasgo definitorio es una sola cresta y un solo valle a cada lado del origen.

Dominio y rango

  • El dominio es el conjunto de todos los números reales
  • El rango es −12≤y≤12-\dfrac{1}{2} \leq y \leq \dfrac{1}{2}
  • Es una función impar
  • Pasa por el origen

El denominador vale al menos 11 y no se anula nunca, así que la función está definida en todas partes.

Simetría

Como f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x), la función es impar y su gráfica tiene simetría central respecto del origen.

Monotonía y extremos

Por la regla del cociente, la derivada es la siguiente.

f′(x)=(1+x2)−x⋅2x(1+x2)2=1−x2(1+x2)2f'(x) = \frac{(1+x^2) - x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}
xx⋯\cdots−1-1⋯\cdots11⋯\cdots
f′f'−-00++00−-
ffdecrecientemínimo −12-\dfrac{1}{2}crecientemáximo 12\dfrac{1}{2}decreciente

Son las cimas de los dos montículos y, al ser los extremos absolutos, fijan el rango.

Asíntota

Cuando x→±∞x \to \pm\infty el x2x^2 del denominador domina e y→0y \to 0, así que el eje xx es una asíntota horizontal. El decaimiento es un suave 1x\dfrac{1}{x}, de modo que la curva vuelve despacio a cero más allá de los montículos.

Puntos de inflexión

La segunda derivada f′′(x)=2x(x2−3)(1+x2)3f''(x) = \dfrac{2x(x^2 - 3)}{(1+x^2)^3} cambia de signo en tres lugares.

xxyy
0000
3≈1.732\sqrt{3} \approx 1.73234≈0.433\dfrac{\sqrt{3}}{4} \approx 0.433
−3-\sqrt{3}−34-\dfrac{\sqrt{3}}{4}

La curva cruza con la mayor pendiente en el origen.

Relación con otras funciones

Surge como derivada de un logaritmo.

ddx[12ln⁡(1+x2)]=x1+x2\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\ln(1+x^2)\right] = \frac{x}{1+x^2}

Aplicaciones

En física, en la respuesta lorentziana que describe la resonancia1, la parte absortiva es 11+x2\dfrac{1}{1+x^2} mientras que el desfase, la parte dispersiva, toma exactamente esta forma. Sirve de modelo en el procesamiento de señales y en la respuesta en frecuencia de los circuitos de corriente alterna, allí donde aparecen una cresta y un valle emparejados.

  1. Resonance, Wikipedia