y = \operatorname{artanh} x

Tangente hiperbólica inversa $y = \operatorname{artanh} x$

$\operatorname{artanh} x$ , la tangente hiperbólica inversa o argumento tangente hiperbólica, es la inversa de $\tanh x$ ¹. Como $\tanh$ aplica de forma monótona toda la recta real sobre el intervalo abierto $(-1, 1)$ , el dominio de su inversa es $(-1, 1)$ .

Definición y forma cerrada

$y = \operatorname{artanh} x$ es el valor $y$ con $x = \tanh y$ . Escrito con un logaritmo toma la forma siguiente.

\operatorname{artanh} x = \frac{1}{2}\ln\frac{1 + x}{1 - x}

La expresión tiene sentido cuando $\dfrac{1 + x}{1 - x} > 0$ , es decir, para $-1 < x < 1$ .

Dominio y rango

El dominio es el intervalo abierto $(-1, 1)$
El rango es el conjunto de todos los números reales
Crece de forma monótona
Es una función impar

Los extremos $x = \pm 1$ quedan excluidos, que es la contrapartida de que $\tanh$ no llegue nunca del todo a los valores $\pm 1$ .

Simetría y monotonía

Como $\operatorname{artanh}(-x) = -\operatorname{artanh} x$ , la función es impar y su gráfica es simétrica respecto del origen. La derivada es la siguiente.

\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1 - x^2}

Dentro del dominio el denominador es positivo, así que la derivada es siempre positiva y la función crece de forma monótona.

Asíntotas

Aproximación	$\operatorname{artanh} x$
$x \to 1^{-}$	$\to +\infty$
$x \to -1^{+}$	$\to -\infty$

Las rectas $x = 1$ y $x = -1$ son asíntotas verticales. Al ser la inversa de la acotada $\tanh$ , crece sin límite dentro de un intervalo estrecho.

Valores destacados

$x$	$\operatorname{artanh} x$
$0$	$0$
$0.5$	$\dfrac{1}{2}\ln 3 \approx 0.5493$
$0.9$	$\approx 1.4722$
$0.99$	$\approx 2.6467$

Cerca del origen $\operatorname{artanh} x \approx x$ , pero la curva se encabrita al acercarse a los extremos. La divergencia es solo logarítmica, sin embargo: llevar $x$ de $0.99$ a $0.999$ eleva el valor únicamente hasta unos $3.8$ .

Desarrollo en serie

El desarrollo en torno al origen solo tiene potencias impares y converge para $|x| < 1$ .

\operatorname{artanh} x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots

Los coeficientes son los mismos que los de $\arctan x$ ; lo único que falta es la alternancia de signos.

Aplicaciones

La transformación $z$ de Fisher en estadística, aplicada a un coeficiente de correlación²
La suma de velocidades en relatividad especial, a través de la rapidez
El resultado de la integral $\int \frac{dx}{1 - x^2}$

En términos de rapidez, la suma de velocidades se convierte en una suma corriente en cuanto se pasa por $\operatorname{artanh}$ . Puede leerse como un cambio de coordenadas que estira un mundo acotado de velocidades hasta desplegarlo sobre una recta sin cotas.

Inverse hyperbolic functions, Wikipedia
Fisher transformation, Wikipedia

Tangente hiperbólica inversa y=artanh⁡xy = \operatorname{artanh} xy=artanhx