y = x^4 - x^2

Gráfica de la función cuártica $y = x^4 - x^2$

$y = x^4 - x^2$ es una curva en forma de W con dos valles y una loma entre ellos. En física es el potencial de doble pozo, la forma habitual con la que se explica la ruptura de simetría¹. Donde la escueta $y = x^4$ tiene un solo valle, restar $x^2$ parte su fondo en dos.

Dominio y simetría

El dominio es el conjunto de todos los números reales. Solo aparecen potencias pares, así que la función es par y la gráfica es simétrica respecto del eje $y$ .

Cortes con los ejes

Al factorizar $x^4 - x^2 = x^2(x-1)(x+1)$ aparecen una raíz doble en $x = 0$ y raíces simples en $x = \pm 1$ . La curva toca el eje $x$ en el origen y lo atraviesa en $\pm 1$ .

Mínimo completando el cuadrado

Tratando $x^2$ como una sola cantidad y completando el cuadrado se obtiene lo siguiente.

x^4 - x^2 = \left(x^2 - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}

El primer término del segundo miembro no es negativo, así que el valor mínimo es $-\dfrac{1}{4}$ , alcanzado cuando $x^2 = \dfrac{1}{2}$ , es decir, en $x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ . Obtener a la vez la profundidad y la posición de los valles sin cálculo diferencial es el atractivo de esta forma.

Extremos e inflexión

La derivada es $y' = 4x^3 - 2x = 2x(2x^2 - 1)$ y la segunda derivada es $y'' = 12x^2 - 2$ .

$x$	$y$	Papel
$\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx \pm 0.707$	$-\dfrac{1}{4}$	mínimo
$\pm\dfrac{1}{\sqrt{6}} \approx \pm 0.408$	$-\dfrac{5}{36}$	inflexión
$0$	$0$	máximo local

El rango es $y \geq -\dfrac{1}{4}$ . La loma central se eleva $\dfrac{1}{4}$ por encima de los valles, y esa altura es la barrera que los separa. La curva es cóncava hacia abajo entre los puntos de inflexión y cóncava hacia arriba fuera de ellos.

Verla como una cuadrática en $x^2$

Poniendo $t = x^2$ la función se convierte en $y = t^2 - t$ , una cuadrática en $t$ cuyo vértice está en $t = \dfrac{1}{2}$ con valor $-\dfrac{1}{4}$ . Esa parábola tiene un solo valle. Pero la aplicación $t = x^2$ devuelve cada $t$ positivo a dos valores de $x$ , y es ese plegado el que parte el único valle en dos.

Signo del coeficiente de $x^2$	Vértice en $t$	Forma en $x$
negativo	$t > 0$ , alcanzable	dos valles (forma de W)
positivo	$t < 0$ , inalcanzable	un solo valle

Toda cuártica par que adopta forma de W se entiende de esta manera.

Ruptura de simetría

La razón por la que esta forma importa en física es que la fórmula es simétrica mientras que el estado más estable no lo es: algo tiene que elegir un lado o el otro². En la teoría de Landau la energía libre se escribe $F = a(T - T_c)\varphi^2 + b\varphi^4$ ; por encima de la temperatura de transición el coeficiente de $\varphi^2$ es positivo y hay un solo valle, mientras que por debajo el coeficiente se vuelve negativo y aparece el doble pozo.

Que un material ferromagnético se asiente espontáneamente en una dirección de magnetización al enfriarse es precisamente este desdoblamiento del valle, y el mecanismo de Higgs de la física de partículas descansa sobre un potencial de la misma forma.

Mecánica cuántica

Con dos valles, una partícula clásica que ha caído en uno no puede superar jamás la barrera. En mecánica cuántica, sin embargo, el efecto túnel le permite pasar de uno a otro y, como consecuencia, el nivel de energía más bajo se desdobla ligeramente en dos. La inversión de la molécula de amoníaco es el ejemplo clásico.

Double-well potential, Wikipedia
Spontaneous symmetry breaking, Wikipedia

Gráfica de la función cuártica y=x4−x2y = x^4 - x^2y=x4−x2