y = \sec x

Gráfica de la función secante $y = \sec x$

La función secante $y = \sec x$ es la función trigonométrica definida como la inversa multiplicativa del coseno¹. En un triángulo rectángulo es la razón entre la hipotenusa y el cateto contiguo.

Definición

\sec x = \frac{1}{\cos x}

Como el denominador es el coseno, el valor del coseno aparece directamente como su inverso.

Dominio y rango

El dominio es todo número real con $x \neq \dfrac{\pi}{2} + n\pi$
El rango es $y \leq -1$ o $y \geq 1$
El período es $2\pi$
Es una función par

Como $-1 \leq \cos x \leq 1$ y $\cos x \neq 0$ , se tiene $|\sec x| \geq 1$ , así que ningún valor estrictamente entre $-1$ y $1$ se alcanza jamás. La secante se mueve solo fuera de la banda que encerraba al coseno.

Simetría y período

Como $\cos x$ es par, $\sec(-x) = \sec x$ , de modo que la gráfica es simétrica respecto del eje $y$ . El período es $2\pi$ , el mismo que el del coseno.

Asíntotas y límites

Hay una asíntota vertical en cada $x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$ .

Aproximación	$\cos x$	$\sec x$
$x \to \left( \dfrac{\pi}{2} \right)^{-}$	$0^{+}$	$+\infty$
$x \to \left( \dfrac{\pi}{2} \right)^{+}$	$0^{-}$	$-\infty$

Monotonía y extremos

La derivada es $\dfrac{d}{dx}\sec x = \sec x \tan x$ . Entre dos asíntotas consecutivas la curva forma una U o una U invertida.

$x$	$\cos x$	$\sec x$	Extremo
$2n\pi$	$1$	$1$	mínimo local
$(2n+1)\pi$	$-1$	$-1$	máximo local

Donde el coseno es mayor la secante es menor, y donde el coseno es menor la secante es mayor. Tomar inversos intercambia lo grande y lo pequeño, así que cuanto más se acerca el coseno a $0$ , más salvajemente se dispara la secante.

Relación con otras funciones

Aparece en una de las identidades trigonométricas básicas.

1 + \tan^2 x = \sec^2 x

Está ligada a la cosecante por $\sec x = \csc\left( x + \dfrac{\pi}{2} \right)$ , así que la relación entre seno y coseno se traslada intacta al lado de las inversas.

Integral

\int \sec x\,dx = \ln|\sec x + \tan x| + C

Aplicaciones

El estiramiento en la dirección este-oeste de la proyección de Mercator
Los cálculos con planos inclinados y con la refracción de la luz
Las integrales en las que $\sec^2 x$ aparece como derivada de la tangente

En la proyección de Mercator la escala este-oeste a la latitud $\varphi$ queda multiplicada por $\sec\varphi$ ². Que los mapas se estiren tan drásticamente en las latitudes altas se debe a lo deprisa que crece esta función.

Trigonometric functions, Wikipedia
Mercator projection, Wikipedia

Gráfica de la función secante y=sec⁡xy = \sec xy=secx