El área de un trapecio

Un cuadrilátero con un par de lados opuestos paralelos es un trapecio¹. Hallamos el área del que tiene vértices $A(0, 0)$, $B(6, 0)$, $C(5, 4)$ y $D(1, 4)$.

La fórmula

El lado $AB$ está sobre $y = 0$ y el lado $DC$ sobre $y = 4$, ambos paralelos al eje $x$. Sus longitudes son $AB = 6$ y $DC = 4$, y la separación entre las dos rectas es la altura $4$.

La fórmula se aclara en cuanto se pone una segunda copia del trapecio boca abajo junto a la primera. Juntas forman un paralelogramo cuya base es la suma de los dos lados paralelos, de área $(a + b)h$, y el trapecio es exactamente su mitad.

Visto a través de la base media

El segmento que une los puntos medios de los dos lados no paralelos es la base media.

Su longitud es $5$, que concuerda con $\dfrac{a + b}{2} = \dfrac{6 + 4}{2} = 5$. Escribiendo $m$ para la base media resulta $S = mh = 5 \times 4 = 20$: el trapecio ha quedado sustituido por un rectángulo tan ancho como su base media.

La fórmula del área de Gauss da lo mismo

Recorrer $A \to B \to C \to D$ da $0 + 24 + 16 + 0 = 40$, y la mitad de eso es $20$.

La razón en que se cortan las diagonales

Las diagonales $AC$ y $BD$ se encuentran en $(3, 2.4)$, y ese punto divide $AC$ desde $A$ en la razón $AB : DC = 3 : 2$. La razón de los dos lados paralelos pasa tal cual a ser la razón en que se dividen las diagonales.

Triángulos de igual área

Los triángulos $\triangle ABD$ y $\triangle ABC$ comparten la base $AB$ y la altura $4$, así que sus áreas son iguales, ambas $\dfrac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$. Entre dos rectas paralelas, el área de un triángulo no cambia esté donde esté el vértice superior.

Enlazar el triángulo y el paralelogramo

La fórmula del trapecio está hecha de modo que une esas dos.

Las cuatro rectas de la gráfica son los cuatro lados, la recta $y = 2$ contiene la base media, y los puntos grandes son los cuatro vértices junto con los extremos de la base media.

1. Trapezoid, Wikipedia