Triángulos rectángulos y el teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, los cuadrados de los dos lados que forman el ángulo recto suman el cuadrado de la hipotenusa¹. Lo confirmamos con el triángulo de vértices $A(-3, 0)$ , $B(3, 0)$ y $C(0, 3)$ .

Confirmar el ángulo recto

Se tiene $\overrightarrow{CA} = (-3, -3)$ y $\overrightarrow{CB} = (3, -3)$ , cuyo producto escalar es $(-3)(3) + (-3)(-3) = 0$ . Los dos lados son perpendiculares.

Confirmar el teorema

Las longitudes de los tres lados son $CA = CB = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$ y $AB = 6$ .

CA^2 + CB^2 = 18 + 18 = 36 = 6^2 = AB^2

Los dos lados del ángulo recto son iguales, así que este es un triángulo rectángulo isósceles con lados en la razón $1 : 1 : \sqrt{2}$ . El número $\sqrt{2}$ es el que aparece como diagonal de un cuadrado, y este triángulo es un cuadrado cortado por la mitad a lo largo de esa diagonal.

Combinaciones que salen enteras

Hay combinaciones en las que los tres lados son enteros, llamadas ternas pitagóricas².

$a$	$b$	$c$	$a^2 + b^2 = c^2$
$3$	$4$	$5$	$9 + 16 = 25$
$5$	$12$	$13$	$25 + 144 = 169$
$8$	$15$	$17$	$64 + 225 = 289$

El recíproco también vale

En un triángulo cuyos lados cumplen $a^2 + b^2 = c^2$ , el ángulo opuesto a $c$ es recto. Ese es el recíproco del teorema de Pitágoras.

Una demostración por áreas

Dentro de un cuadrado de lado $a + b$ , dispónganse cuatro triángulos rectángulos de catetos $a$ y $b$ como las aspas de un molino; en el centro queda un cuadrado de lado $c$ . Contar el área total de dos maneras da lo siguiente.

\begin{align*} (a + b)^2 &= 4 \times \frac{ab}{2} + c^2 \\ a^2 + 2ab + b^2 &= 2ab + c^2 \\ a^2 + b^2 &= c^2 \end{align*}

Decidir el tipo de un ángulo

Las longitudes de los tres lados revelan además el tipo del ángulo.

Condición	El ángulo opuesto al lado mayor
$a^2 + b^2 > c^2$	agudo
$a^2 + b^2 = c^2$	recto
$a^2 + b^2 < c^2$	obtuso

Para $5$ , $6$ y $8$ , por ejemplo, $25 + 36 = 61$ se queda por debajo de $8^2 = 64$ , así que el ángulo opuesto al lado mayor es obtuso.

Relación con la fórmula de la distancia

La fórmula de la distancia entre dos puntos del plano coordenado es este mismo teorema.

\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Construye un triángulo cuyos catetos son la diferencia de las $x$ y la de las $y$ , y pregunta por la hipotenusa. Por eso el teorema asoma por todas partes en los cálculos con coordenadas.

Las tres rectas de la gráfica son los tres lados, y los puntos grandes son los tres vértices.

Pythagorean theorem, Wikipedia
Pythagorean triple, Wikipedia