Circunferencia inscrita de un triángulo

Una circunferencia que toca los tres lados de un triángulo es su circunferencia inscrita, y su centro es el incentro¹. Los hallamos para el triángulo de vértices $A(0, 0)$ , $B(5, 0)$ y $C(3.2, 2.4)$ .

Las longitudes de los lados

Lado	Longitud
$BC$	$3$
$CA$	$4$
$AB$	$5$

Como $3^2 + 4^2 = 5^2$ , el triángulo es rectángulo en $C$ .

Cómo se construye el incentro

El incentro es la intersección de las tres bisectrices interiores. Un punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los dos lados que lo forman. La intersección de dos bisectrices equidista, por tanto, de los tres lados, y la bisectriz restante ha de pasar también por ella. Esa distancia común es el radio de la circunferencia inscrita.

El radio a partir del área

Unir el incentro con los tres vértices corta el triángulo en tres triángulos, cada uno con un lado por base y altura $r$ .

\begin{align*} S &= \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = rs \\ s &= \frac{a + b + c}{2} \end{align*}

Aquí $S = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ y $s = 6$ , así que $r = \dfrac{S}{s} = 1$ .

Para un triángulo rectángulo, con $c$ la hipotenusa, el radio es además $r = \dfrac{a + b - c}{2}$ . Eso da $\dfrac{3 + 4 - 5}{2} = 1$ , en acuerdo con lo anterior.

Las coordenadas del incentro

El incentro es una media de los vértices ponderada por las longitudes de los lados opuestos. Escribiendo $a = BC$ , $b = CA$ y $c = AB$ resulta lo siguiente.

I = \frac{aA + bB + cC}{a + b + c} = \frac{3(0,\, 0) + 4(5,\, 0) + 5(3.2,\, 2.4)}{12} = (3,\, 1)

La circunferencia inscrita es $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 1$ . La coordenada $y$ del centro, que vale $1$ , es exactamente su distancia al lado $AB$ , así que el radio se lee directamente en la gráfica.

Diferencia con el circuncentro

Aspecto	Incentro	Circuncentro
Cómo se halla	intersección de las bisectrices interiores	intersección de las mediatrices de los lados
De qué equidista	de los tres lados	de los tres vértices
Posición	siempre dentro	a veces fuera

El incentro está siempre dentro del triángulo, ya que equidistar de los tres lados solo es posible ahí.

Las tres rectas de la gráfica son los tres lados, los dos arcos son la circunferencia inscrita, y los puntos grandes son los tres vértices junto con el incentro $(3, 1)$ .

Incircle and excircles, Wikipedia