Cuadriláteros cíclicos

Un cuadrilátero cuyos cuatro vértices están sobre una misma circunferencia se llama cíclico¹. Examinamos el de vértices $A(5, 0)$ , $B(3, 4)$ , $C(-3, 4)$ y $D(-4, -3)$ .

Están sobre una misma circunferencia

Los cuatro puntos cumplen $x^2 + y^2 = 25$ .

Vértice	$x^2 + y^2$
$A(5, 0)$	$25 + 0 = 25$
$B(3, 4)$	$9 + 16 = 25$
$C(-3, 4)$	$9 + 16 = 25$
$D(-4, -3)$	$16 + 9 = 25$

Están sobre la circunferencia de centro $(0, 0)$ y radio $5$ .

Los ángulos opuestos suman un ángulo llano

En un cuadrilátero así, los ángulos opuestos suman $180^\circ$ . Por el teorema del ángulo inscrito, $\angle A$ es la mitad del ángulo central del arco que no contiene a $A$ , y $\angle C$ es la mitad del ángulo central del arco que no contiene a $C$ . Los dos arcos juntos completan una vuelta entera de $360^\circ$ , así que la suma ha de ser la mitad de eso.

El recíproco también vale. Todo cuadrilátero cuyos ángulos opuestos sumen $180^\circ$ es cíclico, y eso se usa como herramienta para demostrar que cuatro puntos están sobre una misma circunferencia.

El teorema de Ptolomeo

Las diagonales cumplen la relación siguiente².

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA

Al desarrollarlo salen las longitudes de abajo.

Longitud	Valor
$AC$	$4\sqrt{5}$
$BD$	$7\sqrt{2}$
$AB$	$2\sqrt{5}$
$CD$	$5\sqrt{2}$
$BC$	$6$
$DA$	$3\sqrt{10}$

El primer miembro es $4\sqrt{5} \times 7\sqrt{2} = 28\sqrt{10}$ y el segundo es $10\sqrt{10} + 18\sqrt{10} = 28\sqrt{10}$ , en acuerdo.

Para un cuadrilátero que no sea cíclico la igualdad falla, y el primer miembro es el menor. Esa es la desigualdad de Ptolomeo, con igualdad solo en el caso cíclico.

La fórmula de Brahmagupta

El área se sigue solo de los cuatro lados. Con $s = \dfrac{a + b + c + d}{2}$ es la siguiente³.

S = \sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)}

Para este cuadrilátero $S = 42$ , en acuerdo con el cálculo por la fórmula del área de Gauss $\dfrac{1}{2}(20 + 24 + 25 + 15) = 42$ . Es la fórmula de Herón de un triángulo trasladada a un cuadrilátero, y solo se aplica en el caso cíclico.

Las cuatro rectas de la gráfica son los cuatro lados, los dos arcos son la circunferencia que pasa por los cuatro vértices, y los puntos grandes son los cuatro vértices junto con el centro $(0, 0)$ .