Tasa de variación media y derivada en un punto

La tasa de variación media es la pendiente de la recta que une los dos extremos de un intervalo¹. La calculamos para $f(x) = x^2$ en el intervalo $[1, 2]$ .

\frac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = \frac{4 - 1}{1} = 3

Ese $3$ es precisamente la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos $(1, 1)$ y $(2, 4)$ , la secante. Esa recta es $y = 3x - 2$ .

Encoger el intervalo

¿Qué le ocurre a la pendiente de la secante cuando el extremo derecho del intervalo se acerca a $1$ ? Calculamos la tasa de variación media en $[1, 1 + h]$ .

\frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \frac{(1 + 2h + h^2) - 1}{h} = 2 + h

$h$	Tasa de variación media $2 + h$
$1$	$3$
$0.1$	$2.1$
$0.01$	$2.01$
$\to 0$	$\to 2$

La derivada en un punto

El valor de ese límite es la derivada en $x = 1$ , que se escribe $f'(1)$ .

f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = 2

La derivada en un punto es la pendiente de la tangente en él. La recta que pasa por $(1, 1)$ con pendiente $2$ es $y = 2x - 1$ y, en la gráfica, toca la parábola en un solo punto. Una secante corta en dos puntos; una tangente solo toca.

Una magnitud de intervalo y una magnitud de punto

Aspecto	Tasa de variación media	Derivada en un punto
A qué pertenece	a un intervalo	a un punto
Significado geométrico	la pendiente de una secante	la pendiente de una tangente
Significado en un movimiento	velocidad media	velocidad instantánea

Hacia la función derivada

El mismo cálculo en un $x = a$ general da $\dfrac{(a + h)^2 - a^2}{h} = 2a + h$ , que se acerca a $2a$ cuando $h \to 0$ . Encoger el intervalo es exactamente la operación que produce la derivada.

Como el cálculo funciona en todo $x$ , la derivada en un punto se convierte en una función de $x$ . Para $f(x) = x^2$ es $f'(x) = 2x$ , llamada función derivada. Poner $x = 1$ da $2$ y $x = 2$ da $4$ , en correspondencia con el modo en que la parábola se empina hacia la derecha.

La parábola de la gráfica es $y = x^2$ , la recta que pasa por los dos puntos es la secante, la recta que toca la parábola es la tangente, y los puntos grandes son $(1, 1)$ y $(2, 4)$ .

Derivative, Wikipedia