Baricentro de un triángulo

Hallamos el baricentro del triángulo de vértices $A(0, 0)$ , $B(4, 0)$ y $C(2, 3)$ ¹. El baricentro es la media de las coordenadas de los vértices.

G = \left( \frac{0 + 4 + 2}{3}, \ \frac{0 + 0 + 3}{3} \right) = (2, 1)

Las coordenadas $x$ se promedian entre sí y las $y$ entre sí; no hace falta nada más.

Por qué funciona la media

El baricentro es la intersección de las tres medianas, los segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. El punto medio de $BC$ es $M\left( 3, \dfrac{3}{2} \right)$ , y el punto que divide la mediana $AM$ en la razón $2 : 1$ desde $A$ está a dos tercios del camino de $A$ hacia $M$ .

\left(\frac{2}{3} \times 3, \ \frac{2}{3} \times \frac{3}{2}\right) = (2, 1)

Coincide, en efecto, con $G$ .

Lo mismo con cualquier mediana

Mediana	Punto medio del lado opuesto	El punto a dos tercios
Desde $A$	$M\left( 3, \dfrac{3}{2} \right)$	$(2, 1)$
Desde $B$	$N\left( 1, \dfrac{3}{2} \right)$	$(2, 1)$
Desde $C$	$L(2, 0)$	$(2, 1)$

Que las tres medianas se encuentren en un único punto, y que ese punto divida a cada una en la razón $2 : 1$ desde el vértice, es el teorema del baricentro.

El significado físico

Una placa triangular recortada de un material de grosor uniforme se equilibra exactamente al apoyarla en este punto. Pensar en cambio en pesos iguales colocados en los tres vértices lleva al mismo lugar, y eso es precisamente la media de las coordenadas. A la media de un conjunto de datos se la llama centro de gravedad de su distribución como extensión de la misma idea.

Siempre dentro

El baricentro está siempre dentro del triángulo. Al ser una media de los vértices, no tiene manera de salirse.

Punto	¿Puede caer fuera del triángulo?
Baricentro	no
Incentro	no
Circuncentro	sí, en un triángulo obtusángulo
Ortocentro	sí, en un triángulo obtusángulo

En la gráfica están señalados los tres vértices, y el punto grande del interior, en $(2, 1)$ , es el baricentro.

Centroid, Wikipedia