y = e^{-x}

Gráfica de la exponencial decreciente $y = e^{-x}$

$y = e^{-x}$ es una exponencial decreciente construida sobre $e \approx 2.718$ , y puede escribirse $e^{-x} = \dfrac{1}{e^x} = \left( \dfrac{1}{e} \right)^x$ .

Dominio y rango

El dominio es el conjunto de todos los números reales y el rango es $y > 0$ ; el valor no es nunca cero ni negativo. La curva pasa siempre por $(0, 1)$ .

Monotonía

La derivada es la siguiente.

y' = -e^{-x}

Es siempre negativa, así que la función es monótona decreciente en toda la recta. La segunda derivada $y'' = e^{-x} > 0$ , de modo que la gráfica es convexa en todo su recorrido. Cuando $x \to +\infty$ el valor se acerca a $0$ , lo que hace del eje $x$ , la recta $y = 0$ , una asíntota horizontal; cuando $x \to -\infty$ diverge a $+\infty$ .

Decaimiento por un factor constante

Cada vez que $x$ aumenta en $1$ , el valor se multiplica por $\dfrac{1}{e}$ , unos $0.368$ .

$x$	$e^{-x}$	Fracción del valor inicial
$0$	$1$	$100\%$
$1$	$0.368$	alrededor del $37\%$
$2$	$0.135$	alrededor del $14\%$
$3$	$0.0498$	alrededor del $5\%$
$5$	$0.00674$	alrededor del $0.67\%$

El valor no llega nunca a $0$ y, sin embargo, se vuelve enseguida lo bastante pequeño como para ignorarlo.

Constante de tiempo y semivida

Como un paso unidad en $x$ multiplica el valor por $\dfrac{1}{e}$ , esa longitud unidad se llama constante de tiempo. El valor cae exactamente a la mitad cuando $x$ aumenta en $\ln 2 \approx 0.693$ , y eso es la semivida. En $(0, 1)$ la tangente tiene pendiente $y'(0) = -1$ y es, por tanto, la recta $y = 1 - x$ , de modo que cerca del origen la curva desciende hacia la derecha pegada a ella.

Una progresión geométrica hecha continua

Los valores en $x = 0, 1, 2, 3, \ldots$ forman una progresión geométrica de razón $\dfrac{1}{e}$ , así que $e^{-x}$ puede leerse como una progresión geométrica unida con suavidad.

Relación con otras funciones

Es la imagen especular de $y = e^x$ respecto del eje $y$ : donde $e^x$ crece de forma explosiva, $e^{-x}$ decae con la misma rapidez. Poniendo $e^{-x} = t$ resulta $x = -\ln t$ , así que es la otra cara del logaritmo.

Aplicaciones

Todo proceso que disminuye en proporción a la cantidad presente toma la forma $e^{-kx}$ .

La desintegración radiactiva
El enfriamiento de un cuerpo caliente, por la ley de enfriamiento de Newton
La descarga de un condensador
La eliminación de un fármaco por el organismo

Sostiene además la distribución exponencial en probabilidad.

Gráfica de la exponencial decreciente y=e−xy = e^{-x}y=e−x