Intersección de una función recíproca y una recta

Hallamos dónde la gráfica de la recíproca $y = \dfrac{1}{x}$ se encuentra con la recta $y = x$.

Resolución

En una intersección los dos valores de $y$ son iguales, así que $\dfrac{1}{x} = x$. Al multiplicar ambos miembros por $x$ queda $x^2 = 1$, de donde $x = \pm 1$, y los puntos de intersección son $(1, 1)$ y $(-1, -1)$.

Siempre que una ecuación tiene denominador hay que comprobar si el factor por el que se ha multiplicado puede anularse. Aquí ese factor es $x$, y $x = 0$ ya está excluido del dominio. Multiplicar por un valor que nunca estuvo permitido no pierde ninguna solución ni introduce ninguna falsa.

Qué son esos dos puntos

Como $y = \dfrac{1}{x}$ es impar e $y = x$ también es simétrica respecto del origen, las intersecciones forman una pareja simétrica respecto del origen. Esos dos puntos son los vértices de la hipérbola $xy = 1$: los lugares donde sus dos ramas más se aproximan, con la recta $y = x$ como eje de simetría de la hipérbola.

El otro eje no la corta nunca

Repetir el cálculo con $y = -x$ da $x^2 = -1$, que no tiene solución real. La recta $y = -x$ es el otro eje de simetría de la hipérbola y, sin embargo, no se encuentra nunca con la curva. Es lo natural: $\dfrac{1}{x}$ vive en el primer y el tercer cuadrante, mientras que $y = -x$ recorre el segundo y el cuarto.

Deslizar la recta

Una recta de pendiente $1$ corta la hipérbola dos veces esté donde esté. Una recta de pendiente negativa, en cambio, sí puede ser tangente a ella.

Comprobación de la tangencia

Como la derivada de $y = \dfrac{1}{x}$ es $y' = -\dfrac{1}{x^2}$, la pendiente de la tangente en $x = 1$ vale $-1$, exactamente la pendiente de la recta $y = -x + 2$. También las intersecciones de una función racional con una recta se reducen a una ecuación de segundo grado y a su discriminante.

Los puntos grandes de la gráfica son los puntos de intersección.