y = \ln x

Gráfica del logaritmo natural $y = \ln x$

$y = \ln x$ es la inversa de $e^x$ : da el exponente al que hay que elevar $e$ para obtener $x$ . Llamado logaritmo natural, cumple $e^{\ln x} = x$ .

Dominio y rango

Como $e^y$ solo toma valores positivos, $\ln x$ tiene sentido únicamente para $x > 0$ . El dominio es $x > 0$ y el rango es el conjunto de todos los números reales: exactamente el dominio y el rango de la exponencial, intercambiados.

Monotonía y forma

La derivada es la siguiente.

y' = \frac{1}{x}

Es positiva para $x > 0$ , así que la función crece de forma monótona, pero la pendiente se acerca a $0$ conforme $x$ crece, de modo que la subida se hace cada vez más suave. La segunda derivada $y'' = -\dfrac{1}{x^2}$ es negativa, así que la curva es cóncava hacia abajo en todo su recorrido. No tiene cota superior y sube para siempre, pero lo hace notablemente despacio: $\ln 1000 \approx 6.9$ .

Asíntotas y límites

Cuando $x \to 0^{+}$ la función diverge a $-\infty$ , así que el eje $y$ , la recta $x = 0$ , es una asíntota vertical. Cuando $x \to +\infty$ diverge a $+\infty$ , pero más despacio que cualquier potencia de $x$ ; para todo $p$ positivo se cumple lo siguiente.

\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^p} = 0

Puntos destacados

La curva pasa por $(1, 0)$ y $(e, 1) \approx (2.718, 1)$ . Como $a^0 = 1$ , todo logaritmo pasa por $(1, 0)$ sea cual sea su base. En $(1, 0)$ la tangente es la recta $y = x - 1$ , de pendiente $1$ .

Propiedades de los logaritmos

Propiedad	Fórmula	Qué hace
Del producto	$\ln(ab) = \ln a + \ln b$	convierte multiplicaciones en sumas
Del cociente	$\ln \dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b$	convierte divisiones en restas
De la potencia	$\ln a^p = p \ln a$	convierte una potencia en un producto

Rebajar así cada operación un escalón es lo que hizo del logaritmo una herramienta de cálculo durante siglos.

Definición como integral

El logaritmo natural es además una primitiva de $\dfrac{1}{x}$ .

\int_{1}^{x} \frac{dt}{t} = \ln x

Esta integral se toma a veces como definición del logaritmo natural. La fórmula del cambio de base $\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$ muestra que todo logaritmo es un múltiplo constante de este.

Aplicaciones

La estadística sustituye un producto de verosimilitudes por una suma de log-verosimilitudes
La teoría de la información define la cantidad de información y la entropía mediante logaritmos
El $O(\log n)$ de la complejidad computacional, como en la búsqueda binaria, mide los algoritmos que reducen el problema en un factor constante a cada paso

Gráfica del logaritmo natural y=ln⁡xy = \ln xy=lnx