y = \operatorname{arcsch} x

La cosecante hiperbólica inversa $y = \operatorname{arcsch} x$

$\operatorname{arcsch} x$ , la cosecante hiperbólica inversa, es la inversa de $\operatorname{csch} x = \dfrac{1}{\sinh x}$ ¹. Como $\operatorname{csch}$ aplica de forma monótona cada rama de $x \neq 0$ sobre $y \neq 0$ , la inversa tiene dominio $x \neq 0$ y también rango $y \neq 0$ .

Definición y forma cerrada

La ecuación $\operatorname{csch} y = x$ es la misma que $\sinh y = \dfrac{1}{x}$ , así que $\operatorname{arcsch} x = \operatorname{arsinh}\dfrac{1}{x}$ . Escrita con un logaritmo toma la forma siguiente.

\operatorname{arcsch} x = \ln\left(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^{2}} + 1}\right)

Como $\operatorname{arsinh}$ está definida para todo número real, existe valor en cuanto existe $\dfrac{1}{x}$ . Esa es la razón de que el dominio sea $x \neq 0$ .

Dominio y rango

El dominio es $x \neq 0$
El rango es $y \neq 0$
Decrece de forma monótona en cada rama
Es una función impar

Simetría y asíntotas

Como $\operatorname{csch}$ es impar, también lo es su inversa, y la gráfica tiene simetría central respecto del origen.

Aproximación	$\operatorname{arcsch} x$
$x \to 0^{+}$	$\to +\infty$
$x \to 0^{-}$	$\to -\infty$
$x \to \pm\infty$	$\to 0$

El eje $y$ es una asíntota vertical y el eje $x$ , una horizontal.

Monotonía y concavidad

La derivada es $-\dfrac{1}{|x|\sqrt{1+x^{2}}}$ , negativa en todo el dominio, así que la función decrece en las dos ramas. La segunda derivada lleva el signo de $x$ , de modo que la curva es cóncava hacia arriba para $x > 0$ y cóncava hacia abajo para $x < 0$ , sin punto de inflexión.

Lo suavemente que diverge

Donde la $\operatorname{csch} x$ original se disparaba cerca del origen como $\dfrac{1}{x}$ , la inversa no diverge más deprisa que $\ln\dfrac{2}{x}$ .

$x$	$\operatorname{arcsch} x$
$0.001$	$\approx 7.6009$
$0.5$	$\approx 1.4436$
$1$	$\ln(1+\sqrt{2}) \approx 0.8814$
$2$	$\approx 0.4812$

El valor $\operatorname{arcsch}(0.001) \approx 7.6009$ coincide con $\ln 2000 \approx 7.6009$ . Dividir $x$ por mil eleva el valor solo hasta unos $8$ , que es la lentitud de un logaritmo puesta al desnudo. Es un caso concreto del hecho general de que tomar la inversa sustituye una divergencia violenta por otra logarítmica.

Comportamiento a lo lejos

Para $|x|$ grande la cantidad $\dfrac{1}{x}$ es pequeña, así que vale $\operatorname{arsinh} u \approx u$ y resulta $\operatorname{arcsch} x \approx \dfrac{1}{x}$ .

Zona	$\operatorname{csch} x$	$\operatorname{arcsch} x$
cerca del origen	$\approx \dfrac{1}{x}$ , proporcionalidad inversa	$\approx \ln\dfrac{2}{x}$ , un logaritmo
a lo lejos	$\approx 2e^{-x}$ , decaimiento exponencial	$\approx \dfrac{1}{x}$ , proporcionalidad inversa

Entre la función y su inversa, los papeles que se representan cerca del origen y a lo lejos quedan exactamente intercambiados.

La familia completa de funciones hiperbólicas inversas

Con esta quedan completas las seis funciones hiperbólicas inversas. El rango de cada función hiperbólica ha pasado tal cual a ser el dominio de su inversa.

Función	Dominio	Rango
$\operatorname{arsinh} x$	todos los números reales	todos los números reales
$\operatorname{arcosh} x$	$x \geq 1$	$y \geq 0$
$\operatorname{artanh} x$	$-1 < x < 1$	todos los números reales
$\operatorname{arcoth} x$	$\|x\| > 1$	$y \neq 0$
$\operatorname{arsech} x$	$0 < x \leq 1$	$y \geq 0$
$\operatorname{arcsch} x$	$x \neq 0$	$y \neq 0$

El prefijo ar abrevia área, por el área de un sector hiperbólico. Es la contrapartida del arco que aparece en los nombres de las funciones trigonométricas inversas, que alude a la longitud de un arco de circunferencia.

Inverse hyperbolic functions, Wikipedia

La cosecante hiperbólica inversa y=arcsch⁡xy = \operatorname{arcsch} xy=arcschx