Definir el logaritmo como un área

El logaritmo puede definirse sin presentarlo como la inversa de una exponencial¹. Vemos la manera de definirlo como el área bajo $y = \dfrac{1}{x}$ .

Definirlo por un área

Escribamos $L(x)$ para el área de $1$ a $x$ .

L(x) = \int_1^x \frac{dt}{t}

Intervalo de $x$	Signo de $L(x)$
$x > 1$	positivo
$x = 1$	$0$
$0 < x < 1$	negativo, con la orientación invertida

Por el teorema fundamental del cálculo, $L'(x) = \dfrac{1}{x} > 0$ , así que $L$ crece de forma monótona.

Un producto se convierte en una suma

La clave está en lo bien que la forma $\dfrac{1}{t}$ resiste un cambio de escala. Sustituyendo $t = as$ , $\dfrac{dt}{t}$ se convierte en $\dfrac{ds}{s}$ .

\int_a^{ab} \frac{dt}{t} = \int_1^{b} \frac{ds}{s}

Estirar el intervalo en un factor $a$ deja el área intacta. De ahí se sigue $L(ab) = L(a) + L(b)$ : un producto que se convierte en una suma, la propiedad que define un logaritmo.

De aquí sale $e$

El número $x$ con $L(x) = 1$ es lo que se llama $e$ . La posición alcanzada cuando el área vale exactamente $1$ es $e \approx 2.71828$ , y $\int_1^e \dfrac{dt}{t} = 1$ .

La inversa resulta ser la exponencial

Escribiendo $E$ para la inversa de $L$ , la regla de derivación de la inversa convierte $L'(x) = \dfrac{1}{x}$ en $E'(y) = E(y)$ : una función que no cambia al derivarla. Se ponga primero la exponencial o el logaritmo, sale el mismo par.

Punto de partida	Lo que se define	Lo que se sigue
Partir de $a^x$	la exponencial	el logaritmo, como su inversa
Partir de $\int \dfrac{dt}{t}$	el logaritmo	la exponencial, como su inversa

La ventaja de este camino

Suprime la necesidad de averiguar de antemano qué significa $a^x$ con un exponente irracional. Partiendo de la cantidad llana que es una integral de $\dfrac{1}{x}$ , se construyen el logaritmo, después $e$ y después la exponencial, en ese orden.

La hipérbola de la gráfica es $y = \dfrac{1}{x}$ , la curva de suave crecimiento que representa el área es $y = \log x$ , y los puntos grandes son $(1, 0)$ , donde el área vale $0$ , y $(e, 1)$ , donde alcanza $1$ .

Natural logarithm, Wikipedia