La regla del trapecio

Una integral cuya primitiva no se puede hallar se aproxima numéricamente. Disponer trapecios en vez de rectángulos es la regla del trapecio1. Examinamos su precisión para f(x)=x2f(x) = x^2 de 00 a 22.

Probar con dos trozos

El área de un trapecio es la media de los dos lados paralelos por la anchura.

f(0)+f(1)2×1+f(1)+f(2)2×1=0+12+1+42=3\frac{f(0) + f(1)}{2} \times 1 + \frac{f(1) + f(2)}{2} \times 1 = \frac{0 + 1}{2} + \frac{1 + 4}{2} = 3

El valor verdadero es 83≈2.667\dfrac{8}{3} \approx 2.667, así que el error es 13\dfrac{1}{3}.

La forma general

Es una suma con peso mitad en los dos extremos.

∫abf(x) dx≈h(f02+f1+⋯+fn−1+fn2)\int_a^b f(x)\,dx \approx h \left( \frac{f_0}{2} + f_1 + \cdots + f_{n-1} + \frac{f_n}{2} \right)

Es también la media de la suma con extremos izquierdos y la suma con extremos derechos.

ConstrucciónValor
Suma con extremos izquierdos11
Suma con extremos derechos55
Su media, la regla del trapecio33

Una estimación por defecto y otra por exceso, sumadas y partidas por la mitad.

Afinar la partición

ParticiónhhAproximaciónError
Dos trozos113313\dfrac{1}{3}
Cuatro trozos0.50.52.752.75112\dfrac{1}{12}

Reducir hh a la mitad divide el error entre cuatro, lo que muestra que el error es proporcional a h2h^2. El error de una simple suma de rectángulos es proporcional a hh, así que la regla del trapecio se encoge más deprisa.

Hacia dónde va el error

Curvatura de la funciónLo que da la regla del trapecio
Convexauna estimación por exceso
Cóncavauna estimación por defecto

Lo decide si la tapa del trapecio queda por encima o por debajo de la curva. Conocer la curvatura indica la dirección del error.

Mejorar aún más la precisión

Aproxímese con parábolas en vez de con rectas. Unir los puntos de tres en tres con una parábola da la regla de Simpson, cuyo error es proporcional a h4h^4, y con los mismos cuatro trozos reproduce 83\dfrac{8}{3} exactamente2. Una función cuadrática queda representada a la perfección por una parábola.

La curva suave de la gráfica es y=x2y = x^2, la poligonal es la aproximación que une las tapas de los trapecios, y los puntos grandes son los puntos de división.

  1. Trapezoidal rule, Wikipedia
  2. Simpson's rule, Wikipedia