y = \log_{10} x

Gráfica del logaritmo decimal $y = \log_{10} x$

$y = \log_{10} x$ es el logaritmo de base $10$ : da el exponente al que hay que elevar $10$ para obtener $x$ . Llamado logaritmo decimal, cumple $10^{\log_{10} x} = x$ y sirve de regla para medir cifras en base $10$ .

Dominio y rango

Como $10^y$ es siempre positivo, el dominio es $x > 0$ . El rango es el conjunto de todos los números reales, y los valores son negativos siempre que $x$ es menor que $1$ .

Monotonía y forma

La derivada es la siguiente.

y' = \frac{1}{x \ln 10}

Como $\ln 10 \approx 2.303$ es una constante positiva, $y' > 0$ para $x > 0$ y la función crece de forma monótona. Su pendiente en un $x$ dado es unas $0.434$ veces la de $\ln x$ , así que sube aún más suavemente que el logaritmo natural. La segunda derivada es negativa, de modo que la curva es cóncava hacia abajo en todo su recorrido.

Asíntotas

Cuando $x \to 0^{+}$ la función diverge a $-\infty$ , así que el eje $y$ , la recta $x = 0$ , es una asíntota vertical. Cuando $x \to +\infty$ diverge a $+\infty$ , pero a paso de tortuga: subir el valor en $1$ exige multiplicar $x$ por diez.

Multiplicar por diez suma uno

Se cumple la identidad $\log_{10}(10x) = \log_{10} x + 1$ .

$x$	$\log_{10} x$
$0.1$	$-1$
$1$	$0$
$10$	$1$
$100$	$2$
$1000$	$3$

Por eso también un entero positivo $N$ tiene $\lfloor \log_{10} N \rfloor + 1$ cifras.

Puntos destacados

La curva pasa por $(1, 0)$ , $(10, 1)$ , $(100, 2)$ y $\left( \dfrac{1}{10}, -1 \right)$ . Con $\log_{10} 2 \approx 0.301$ y $\log_{10} 3 \approx 0.477$ , el hecho conocido de que $2^{10} = 1024$ esté cerca de $10^3$ se manifiesta como $10 \times 0.301 = 3.01$ .

Relación con el logaritmo natural

La inversa es $10^x$ , y las dos gráficas son reflejos una de la otra respecto de la recta $y = x$ . La relación con el logaritmo natural es la siguiente.

\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10} \approx 0.434 \ln x

La gráfica es la de $\ln x$ comprimida verticalmente en un factor de aproximadamente $0.434$ . La forma es idéntica, sigue pasando por $(1, 0)$ y el eje $y$ sigue siendo su asíntota: cambiar la base de un logaritmo solo reescala el eje vertical.

Aplicaciones

Mide órdenes de magnitud.

Escala	Qué mide
pH	la concentración de iones de hidrógeno, con signo menos
Decibelio	la intensidad de un sonido
Magnitud	la energía de un terremoto
Magnitud estelar	el brillo de una estrella

Un paso en una escala así significa un factor multiplicativo fijo: un punto más de magnitud sísmica significa unas $32$ veces la energía. La misma función sostiene las gráficas semilogarítmicas y logarítmicas, que encajan en un solo diagrama magnitudes que difieren en muchos órdenes.

Gráfica del logaritmo decimal y=log⁡10xy = \log_{10} xy=log10​x