Integrales impropias

Incluso cuando el intervalo de integración se va al infinito, el área puede seguir siendo finita1. Comparamos y=1x2y = \dfrac{1}{x^2} e y=1xy = \dfrac{1}{x} integradas desde 11 en adelante.

Cuándo converge

Un intervalo infinito se define mediante un límite. Primero se integra hasta un bb finito y después se hace b→∞b \to \infty.

∫1bdxx2=[−1x]1b=1−1b⟶1\int_1^b \frac{dx}{x^2} = \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^b = 1 - \frac{1}{b} \longrightarrow 1

El área se asienta en 11. El intervalo se estira sin límite, pero la curva cae tan deprisa que cada nueva aportación es menor que la anterior.

Cuándo diverge

∫1bdxx=[log⁡x]1b=log⁡b⟶∞\int_1^b \frac{dx}{x} = \left[ \log x \right]_1^b = \log b \longrightarrow \infty

El área crece sin límite. El crecimiento de log⁡b\log b es lento, pero no se detiene nunca.

bb∫1bdxx2\int_1^b \dfrac{dx}{x^2}∫1bdxx\int_1^b \dfrac{dx}{x}
10100.90.92.302.30
10310^30.9990.9996.916.91
10610^60.9999990.99999913.8213.82

La frontera es p=1p = 1

Para y=1xpy = \dfrac{1}{x^p} integrada de 11 a ∞\infty, la suerte la decide pp.

Intervalo de ppResultado
p>1p > 1converge
p≤1p \leq 1diverge

Las dos curvas se acercan al eje xx en la gráfica y, sin embargo, solo una converge. Lo que importa es lo deprisa que se acercan.

El tipo que se dispara en un extremo

Incluso en un intervalo finito, un extremo en el que la función diverge se trata del mismo modo.

IntegralResultado
∫01dxx\int_0^1 \dfrac{dx}{\sqrt{x}}22, converge
∫01dxx\int_0^1 \dfrac{dx}{x}diverge

Para cualquiera de los dos tipos se integra evitando el extremo y después se toma el límite al acercarse a él. Un límite finito significa convergencia; cualquier otra cosa, divergencia.

La curva que cae bruscamente es y=1x2y = \dfrac{1}{x^2}, la más suave es y=1xy = \dfrac{1}{x}, y el punto grande es (1,1)(1, 1), donde las dos curvas se encuentran.

  1. Improper integral, Wikipedia