y = \dfrac{1}{1+e^{-x}}

La función logística (sigmoide) $y = \dfrac{1}{1+e^{-x}}$

La función logística $y = \dfrac{1}{1+e^{-x}}$ , llamada también sigmoide estándar, es la curva en forma de S por excelencia¹. Confina la salida entre $0$ y $1$ sea cual sea la entrada real, lo que la hace muy adecuada para representar una probabilidad o un grado de estar encendido o apagado.

Dominio y rango

El dominio es el conjunto de todos los números reales
El rango es el intervalo abierto $(0, 1)$
Crece de forma monótona
Las rectas $y = 0$ e $y = 1$ son asíntotas horizontales

El denominador $1 + e^{-x}$ es siempre positivo, y los valores de los dos extremos no se alcanzan nunca.

Simetría

Como $f(-x) = 1 - f(x)$ , la gráfica tiene simetría central respecto de $\left( 0, \dfrac{1}{2} \right)$ .

$x$	$f(x)$	$f(-x)$	Suma
$1$	$\approx 0.7311$	$\approx 0.2689$	$1$
$2$	$\approx 0.8808$	$\approx 0.1192$	$1$
$4$	$\approx 0.9820$	$\approx 0.0180$	$1$

Monotonía

La función tiene la llamativa propiedad de que su derivada puede escribirse en términos de sí misma.

f'(x) = f(x)\bigl(1 - f(x)\bigr) = \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}

Es siempre positiva, así que la función crece en toda la recta. La pendiente es máxima en el centro $x = 0$ , donde vale $\dfrac{1}{4}$ . Allí donde el valor está cerca de $0$ o de $1$ la pendiente es casi $0$ , y eso es lo que lleva al desvanecimiento del gradiente en las redes profundas.

Punto de inflexión

La segunda derivada es $f'' = f(1-f)(1-2f)$ , cuyo signo cambia en $f = \dfrac{1}{2}$ , es decir, en $x = 0$ . El punto $\left( 0, \dfrac{1}{2} \right)$ es el único punto de inflexión, y la curva pasa allí de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo.

Relación con la tangente hiperbólica

f(x) = \frac{1}{2}\left(1 + \tanh\frac{x}{2}\right)

Coincide con $\tanh$ ensanchada en un factor $2$ horizontalmente, dividida por dos verticalmente y elevada en $\dfrac{1}{2}$ .

Aspecto	$\dfrac{1}{1+e^{-x}}$	$\tanh x$
Rango	$(0, 1)$	$(-1, 1)$
Centro de simetría	$\left( 0, \dfrac{1}{2} \right)$	$(0, 0)$
Pendiente en el origen	$\dfrac{1}{4}$	$1$

Son la misma forma, y se diferencian solo en el rango y en la escala.

Aplicaciones e historia

En el siglo XIX el matemático belga Verhulst la introdujo como solución de la ecuación logística, que modela el crecimiento de una población en un entorno de recursos limitados.

El modelo de una probabilidad en la regresión logística
Una función de activación en redes neuronales
El crecimiento de una población y el avance de una reacción química

Logistic function, Wikipedia

La función logística (sigmoide) y=11+e−xy = \dfrac{1}{1+e^{-x}}y=1+e−x1​