El área de un polígono y la fórmula del área de Gauss

Si se conocen las coordenadas de los vértices de un polígono, su área puede calcularse sin más que recorrerlos una vez¹. Lo hacemos con el pentágono de vértices $A(0, 0)$ , $B(4, 0)$ , $C(5, 3)$ , $D(2, 5)$ y $E(-1, 2)$ .

La fórmula del área de Gauss

Enumérense los vértices en sentido antihorario como $(x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)$ , fórmese $x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i$ para cada par contiguo y súmese. Tras el último vértice se vuelve al primero.

S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right|

Desarrollarlo

Lado	$x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i$	Valor
$AB$	$0 \cdot 0 - 4 \cdot 0$	$0$
$BC$	$4 \cdot 3 - 5 \cdot 0$	$12$
$CD$	$5 \cdot 5 - 2 \cdot 3$	$19$
$DE$	$2 \cdot 2 - (-1) \cdot 5$	$9$
$EA$	$(-1) \cdot 0 - 0 \cdot 2$	$0$

El total es $40$ , así que el área es $\dfrac{1}{2} \times 40 = 20$ .

Qué significa la fórmula

El significado se remonta al área de un triángulo. El triángulo que forman el origen y dos puntos $(p, q)$ y $(r, s)$ tiene área $\dfrac{1}{2}|ps - qr|$ . Mirar cada lado desde el origen corta la figura en triángulos; sumarlos con signo cancela como triángulo negativo lo que sobresale del polígono, y lo que queda es el área del propio polígono.

Comprobación cortando por las diagonales

Triángulo	Área
$\triangle ABC$	$6$
$\triangle ACD$	$\dfrac{19}{2}$
$\triangle ADE$	$\dfrac{9}{2}$
Total	$20$

Las respuestas concuerdan.

Precauciones de uso

Los vértices han de enumerarse en el orden en que se recorre la figura; reordenarlos da otra forma
Ningún lado puede cruzar a otro, ya que un contorno que se autointerseca hace que las áreas se cancelen
El polígono no tiene por qué ser convexo

Qué significa el signo

El signo del valor antes del valor absoluto registra la orientación: positivo en sentido antihorario y negativo en sentido horario. Los ordenadores usan además ese signo para decidir qué lado de un polígono mira hacia fuera.

Las cinco rectas de la gráfica son los cinco lados, y los puntos grandes son los cinco vértices.

Shoelace formula, Wikipedia